Home OSN Soal dan Pembahasan Soal OSN Matematika SMP : Teori Bilangan

Soal dan Pembahasan Soal OSN Matematika SMP : Teori Bilangan

Guru Milenial 22 Februari 2023 2,126 Comments

Kumpulan Soal OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten dan Pembahasannya

TOPIK : TEORI BILANGAN

1. Diketahui FPB dan KPK dari 72 dan x berturut-turut adalah 3 dan 1800. Pernyataan berikut yang benar adalah …. (OSN 2014)
A. x kelipatan 5
B. x kelipatan 72
C. x adalah genap
D. x adalah faktor dari 3

Pembahasan

Gunakan sifat FPB dan KPK:

$\begin{align*} \operatorname{FPB}(3,1800) \times \operatorname{KPK}(3,1800) &= 3 \times 1800 \\ 72\times x &= 5400 \\ 72x &= 5400 \\ x&= \frac{5400}{72} \\ x&= 75 \end{align*}$

Jadi, $x$ merupakan bilangan kelipatan 5.
Jawaban: A.

2. Diantara bilangan-bilangan berikut, manakah yang terletak antara $\frac{11}{15}$ dan $\frac{13}{18}$ . (OSN 2005)
A. $\frac{11}{18}$
B. $\frac{13}{15}$
C. $\frac{15}{18}$
D. $\frac{11}{13}$
E. $\frac{24}{33}$

Pembahasan

Gunakan sifat urutan pecahan berikut ini:

$\begin{align*} \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d} \\ \end{align*}$

untuk setiap $a$ , $b$ , $c$ , $d$ bilangan bulat positif.
sehingga diperoleh:

$\begin{align*} \frac{11}{15} &< \frac{11+13}{15+18} < \frac{13}{18} \\ \frac{11}{15} &< \frac{24}{33} < \frac{13}{18} \end{align*}$

Jadi salah satu bilangan yang terletak antara $\frac{11}{15}$ dan $\frac{13}{18}$ adalah $\frac{24}{33}$ .
Jawaban: E.

3. Bilangan yang ditunjukan oleh $\frac{1}{(1+\sqrt{2})(2+\sqrt{3})(1-\sqrt{2})(2-\sqrt{3})}$ adalah …. (OSN 2005)
A. Bilangan irrasional positif
B. Bilangan irrasional negatif
C. Bilangan rasional positif
D. Bilangan bulat positif
E. Bilangan bulat negatif

Pembahasan

Penyebut pecahan tersebut kita pasangkan berdasarkan sifat kesekawanan bentuk aljabar suku dua. Sehingga bentuk di atas dapat ditulis menjadi:

$\begin{align*} & \frac{1}{(1+\sqrt{2})(2+\sqrt{3})(1-\sqrt{2})(2-\sqrt{3})} \\ &= \frac{1}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} \\ &= \frac{1}{(1-2)(4-3)} \\ &= \frac{1}{(-1)(1)} \\ &= -1 \end{align*}$

Jadi -1 merupakan bilangan bulat negatif

Jawaban: E.

4. Bilangan asli $n$ sedemikian sehingga hasil kali oleh $\left ( 1+\frac{1}{2} \right )\left ( 1+\frac{1}{3} \right )\left ( 1+\frac{1}{4} \right )…\left ( 1+\frac{1}{n} \right )$ adalah …. (OSN 2006)
A. $n$ ganjil
B. $n$ genap
C. $n$ kelipatan 3
D. $n$ sembarang
E. tidak ada $n$ yang memenuhi

Pembahasan

Bentuk dalam kurung dijumlahkan menjadi bentuk pecahan biasa:

$\begin{align*} & \left ( 1+\frac{1}{2} \right )\left ( 1+\frac{1}{3} \right )\left ( 1+\frac{1}{4} \right )…\left ( 1+\frac{1}{n} \right ) \\ &= \frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\times \frac{5}{4}\times ...\times \frac{n+1}{2} \\ &= \frac{n+1}{2} \\ \end{align*}$

Perhatikan pola yang terbentuk. pembilang pecahan dan penyebut pecahan berikutnya bernilai sama sehingga bisa disederhanakan menjadi $\frac{n+1}{2}$
Agar nilai $\frac{n+1}{2}$ merupakan bilangan bulat, maka $(n+1)$ harus bisa dibagi 2 atau $(n+1)$ merupakan bilangan genap). Sehingga $n$ haruslah bilangan ganjil.

Jawaban: E.

5. Desi merayakan hari ulang tahun pada tanggal 27 Desember 2006. Jika pada hari tersebut usia desi sama jumlah digit dari angka tahun kelahirannya, maka Desi lahir pada tahun …. (OSN 2007)
A. 1994
B. 1992
C. 1989
D. 1984
E. 1979

Pembahasan

Misalkan Desi lahir tahun $19ab$ , dengan $a$ dan $b$ bilangan bulat, sehingga bisa ditulis:

$\begin{align*} 2006-(1000+900+10a+b) &= 1+9+a+b \\ 2006-(1000+900+10a+b) &= 1+9+a+b \\ 2006-1900-10a-b &= 10+a+b \\ 106-10 &= 10a+a+b+b \\ 96 &= 11a+2b \\ 88+8 &= 11a+2b \\ \end{align*}$