Soal dan Pembahasan Soal OSN Matematika SMP : Teori Bilangan

Kumpulan Soal OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten dan Pembahasannya

TOPIK : TEORI BILANGAN

1. Diketahui FPB dan KPK dari 72 dan x berturut-turut adalah 3 dan 1800. Pernyataan berikut yang benar adalah …. (OSN 2014)
A. x kelipatan 5
B. x kelipatan 72
C. x adalah genap
D. x adalah faktor dari 3

Pembahasan

Gunakan sifat FPB dan KPK:

    \begin{align*} \operatorname{FPB}(3,1800) \times \operatorname{KPK}(3,1800) &= 3 \times 1800  \\ 72\times x &= 5400 \\ 72x &= 5400 \\ x&= \frac{5400}{72} \\ x&= 75  \end{align*}

Jadi, x merupakan bilangan kelipatan 5.
Jawaban: A.

2. Diantara bilangan-bilangan berikut, manakah yang terletak antara \frac{11}{15} dan \frac{13}{18}. (OSN 2005)
A. \frac{11}{18}
B. \frac{13}{15}
C. \frac{15}{18}
D. \frac{11}{13}
E. \frac{24}{33}

Pembahasan
Gunakan sifat urutan pecahan berikut ini:

    \begin{align*} \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d} \\ \end{align*}

untuk setiap a, b, c, d bilangan bulat positif.
sehingga diperoleh:

    \begin{align*} \frac{11}{15} &< \frac{11+13}{15+18} < \frac{13}{18} \\ \frac{11}{15} &< \frac{24}{33} < \frac{13}{18} \end{align*}

Jadi salah satu bilangan yang terletak antara \frac{11}{15} dan \frac{13}{18} adalah \frac{24}{33}.
Jawaban: E.

3. Bilangan yang ditunjukan oleh \frac{1}{(1+\sqrt{2})(2+\sqrt{3})(1-\sqrt{2})(2-\sqrt{3})} adalah …. (OSN 2005)
A. Bilangan irrasional positif
B. Bilangan irrasional negatif
C. Bilangan rasional positif
D. Bilangan bulat positif
E. Bilangan bulat negatif

Pembahasan
Penyebut pecahan tersebut kita pasangkan berdasarkan sifat kesekawanan bentuk aljabar suku dua. Sehingga bentuk di atas dapat ditulis menjadi:

    \begin{align*} & \frac{1}{(1+\sqrt{2})(2+\sqrt{3})(1-\sqrt{2})(2-\sqrt{3})} \\ &= \frac{1}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} \\ &= \frac{1}{(1-2)(4-3)} \\ &= \frac{1}{(-1)(1)} \\ &= -1 \end{align*}

Jadi -1 merupakan bilangan bulat negatif

Jawaban: E.

4. Bilangan asli n sedemikian sehingga hasil kali oleh \left ( 1+\frac{1}{2} \right )\left ( 1+\frac{1}{3} \right )\left ( 1+\frac{1}{4} \right )…\left ( 1+\frac{1}{n} \right ) adalah …. (OSN 2006)
A. n ganjil
B. n genap
C. n kelipatan 3
D. n sembarang
E. tidak ada n yang memenuhi

Pembahasan
Bentuk dalam kurung dijumlahkan menjadi bentuk pecahan biasa:

    \begin{align*} & \left ( 1+\frac{1}{2} \right )\left ( 1+\frac{1}{3} \right )\left ( 1+\frac{1}{4} \right )…\left ( 1+\frac{1}{n} \right ) \\ &= \frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\times \frac{5}{4}\times ...\times \frac{n+1}{2} \\ &= \frac{n+1}{2} \\ \end{align*}

Perhatikan pola yang terbentuk. pembilang pecahan dan penyebut pecahan berikutnya bernilai sama sehingga bisa disederhanakan menjadi \frac{n+1}{2}
Agar nilai \frac{n+1}{2} merupakan bilangan bulat, maka (n+1) harus bisa dibagi 2 atau (n+1) merupakan bilangan genap). Sehingga n haruslah bilangan ganjil.

Jawaban: E.

5. Desi merayakan hari ulang tahun pada tanggal 27 Desember 2006. Jika pada hari tersebut usia desi sama jumlah digit dari angka tahun kelahirannya, maka Desi lahir pada tahun …. (OSN 2007)
A. 1994
B. 1992
C. 1989
D. 1984
E. 1979

Pembahasan
Misalkan Desi lahir tahun 19ab, dengan a dan b bilangan bulat, sehingga bisa ditulis:

    \begin{align*} 2006-(1000+900+10a+b) &= 1+9+a+b \\ 2006-(1000+900+10a+b) &= 1+9+a+b \\ 2006-1900-10a-b &= 10+a+b \\ 106-10 &= 10a+a+b+b \\ 96 &= 11a+2b \\ 88+8 &= 11a+2b \\  \end{align*}

Dari persamaan 88+8=11a+2b diperoleh 88=11a atau a=8 dan 8=2b atau b=4
Jadi Desi lahir pada tahun 19ab = 1984.

Jawaban: D.

Media Belajar, Berbagi, dan Semoga Menginspirasi Indonesia

You May Also Like

1,131 Comments

  1. Hi there! This post couldn’t be written any better! Reading through this post reminds me of my previous room mate! He always kept talking about this. I will forward this article to him. Pretty sure he will have a good read. Thank you for sharing!

  2. Woah! I’m really enjoying the template/theme of this site. It’s simple, yet effective. A lot of times it’s challenging to get that “perfect balance” between user friendliness and appearance. I must say you have done a excellent job with this. In addition, the blog loads extremely quick for me on Safari. Exceptional Blog!

  3. What i do not understood is actually how you are not actually much more well-liked than you may be right now. You are very intelligent. You realize therefore considerably relating to this subject, produced me personally consider it from a lot of varied angles. Its like women and men aren’t fascinated unless it is one thing to do with Lady gaga! Your own stuffs outstanding. Always maintain it up!

  4. This blog is definitely rather handy since I’m at the moment creating an internet floral website – although I am only starting out therefore it’s really fairly small, nothing like this site. Can link to a few of the posts here as they are quite. Thanks much. Zoey Olsen

  5. I will right away snatch your rss as I can’t find your e-mail subscription hyperlink or e-newsletter service. Do you have any? Please permit me understand so that I may subscribe. Thanks.

  6. [url=https://www.engnetglobal.com/redirect/company.aspx?cid=STO060&url=https%3a%2f%2fpropecia2024x7.top%2F]neurontin 24 hour shipping to us[/url] ampicillin no script [url=https://www.allgaeuhit.de/wb_link.php?ziel=https://propecia2024x7.top/]purchase Bactrim[/url] avodart india

  7. [url=http://9pha.com/change_language.asp?language_id=en&MemberSite_session=site_12048_&link=https%3A%2F%2Fsildalispop.online%2F]voltaren 50 mg – london[/url] cheap Premarin [url=https://bw1.boostog.net/widget/redirect?redirect=https%3A%2F%2Fsildalispop.online%2F&click=https%3A%2F%2Fbw1.boostog.net%2Fevent%2Fu%3Fk%3DeyJhbGciOiJIUzI1NiIsInR5cCI6IkpXVCJ9.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.VJxwGonv6fjp4h-R_kEky9AfojpIOmWpJDMPe2jepz0%26e%3D1]does baclofen get you high[/url] how much is celebrex in mexico

  8. [url=https://www.ostarrichi.com/goto/?link=https%3A%2F%2Fsildalispop.online%2F]nolvadex mg[/url] baclofen cream 60 mg [url=https://www.rodgersinstruments.com/cronjob/mailcampaigns/link/nzq4ng==/mtg0/?link=https://sildalispop.online/]seroquel 50 mgs[/url] where to buy bactrim antibiotic

  9. I like what you guys are up too. Such smart work and reporting! Keep up the excellent works guys I have incorporated you guys to my blogroll. I think it will improve the value of my website 🙂