Soal dan Pembahasan Soal OSN Matematika SMP : Kombinatorik dan Peluang

Kumpulan Soal OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten dan Pembahasannya

TOPIK : Kombinatorik dan Peluang

1. Pada sebuah ujian yang dilaksanakan secara lisan oleh seorang guru digunakan aturan sebagai berikut.

Sebanyak 30 pertanyaan berbeda dimasukkan secara berpasangan pada 15 kartu.
Seorang siswa mengambil satu kartu secara acak. Jika dia menjawab dengan benar kedua pertanyaan pada kartu yang ditarik, dia dinyatakan lulus.
Jika dia menjawab dengan benar hanya satu pertanyaan pada kartu yang ditarik, dia mengambil kartu lain dan guru menentukan yang mana dari dua pertanyaan pada kartu kedua yang harus dijawab. Jika siswa menjawab dengan benar pertanyaan yang ditentukan, siswa tersebut dinyatakan lulus. Pada keadaan lainnya siswa dinyatakan gagal.
Jika seorang siswa mengetahui jawaban dari 25 pertanyaan dan tidak tahu jawaban yang benar untuk 5 pertanyaan lainnya, peluang siswa tersebut lulus ujian adalah …. (OSN Matematika SMP 2022)
A. $\frac{195}{203}$
B. $\frac{185}{203}$
C. $\frac{175}{203}$
D. $\frac{165}{203}$

Pembahasan

Diketahui siswa tersebut menjawab soal 25 Benar dan 5 Salah. Kita bagi kasusnya menjadi dua bagian:
1. Lulus setelah menjawab 2 Benar pada kartu pertama (B, B)
Peluang siswa menjawab benar pada pertanyaan pertama = $\frac{25}{30}$
Peluang siswa menjawab benar pada pertanyaan kedua= $\frac{24}{29}$

$\begin{align*} P(B,B) &= P(B) \times P(B) = \frac{25}{30} \times \frac{24}{29} = \frac{24}{29}= \frac{20}{29} \end{align*}$

2. Lulus setelah menjawab B S pada kartu pertama kemudian B pada kartu kedua (B, S, B)
Peluang siswa menjawab benar pada pertanyaan pertama = $\frac{25}{30}$
Peluang siswa menjawab salah pada pertanyaan kedua= $\frac{5}{29}$
Peluang siswa menjawab benar pada pertanyaan ketiga= $\frac{24}{28}$
Sehingga:

$\begin{align*} P(B,S,B) &= P(B) \times P(S) \times P(B)= \frac{25}{30} \times \frac{5}{29} \times \frac{24}{28} = \frac{25}{203} \end{align*}$

Jadi Peluang Siswa tersebut lulus $=\frac{20}{29}+\frac{25}{203}=\frac{140}{203}+\frac{25}{203}=\frac{165}{203}$
Jawaban: D.

2. Di suatu fasilitas kesehatan, empat pasang suami istri sedang mengantri untuk disuntik vaksin satu per satu. Jika setiap suami menghendaki istrinya untuk disuntik terlebih dahulu daripada dirinya dan setiap pasang suami istri tidak harus disuntik berurutan, banyak urutan penyuntikan vaksin berbeda yang mungkin adalah…. (OSN Matematika SMP 2021)
A. 24
B. 576
C. 2520
D. 40260

Pembahasan

Karena istri disuntik terlebih dahulu, maka posisi terdepan pasti wanita dan paling akhir adalah pria.
Dengan menggunakan aturan perkalian diperoleh:

$\begin{align*} 4\times 7\times 3\times 5\times 2\times 3\times 1\times 1 = 2520 \end{align*}$

Jawaban: C.

3. Dalam suatu kotak tertutup, terdapat dua buah dadu dengan enam sisi.
Dadu pertama memiliki satu sisi bermata 1, satu sisi bermata 2, dua sisi bermata 3, dan dua sisi bermata 5.
Dadu kedua memiliki satu sisi bermata 1, satu sisi bermata 2, satu sisi bermata 3, dan tiga sisi bermata 5.
Suatu permainan dilakukan dengan mengambil secara acak satu dadu dari dalam kotak, kemudian melemparkan dadu tersebut, mengamati hasilnya, dan memasukkannya kembali ke dalam kotak. Permainan dapat diulang beberapa kali.
Andi main dua kali dan mendapatkan hasil amatan mata 1 pada permainan pertama dan mata 5 pada permainan kedua.
Peluang bahwa hanya dadu kedua yang terambil pada kedua permainan yang dilakukan Andi adalah…. (OSN Matematika SMP 2022)
A. 0,4
B. 0,3
C. 0,2
D. 0,1

Pembahasan

Diketahui Andi mendapatkan mata 1 pada permainan pertama dan mata 5 pada permainan kedua hanya dari dadu kedua.
Pada dadu kedua terdapat 1 mata 1 dan 3 mata 5
Ruang sampel pada kedua dadu terdapat 2 mata 1 dan 5 mata 5, sehingga dapat ditulis:
Peluang Andi mendapatkan mata 1 pada permainan pertama = $\frac{1}{2}$
Peluang Andi mendapatkan mata 5 pada permainan kedua= $\frac{3}{5}$

$\begin{align*} P(1, 5) &= P(1) \times P(5) \\ &= \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} \\ &= \frac{3}{10} \\ &= 0,3 \end{align*}$

Jadi Peluang Andi adalah 0,3
Jawaban: B.

4. Doni membeli 3 pasang burung kutilang di pasar dan membawanya dalam 1 wadah besar. Sampai di rumah, burung-burung tersebut akan ditempatkan secara acak ke dalam 3 sangkar berbeda yang masing-masing berisi 2 burung. Peluang setiap burung akan ditempatkan di kandang bersama pasangannya yang sesuai adalah …. (OSN Matematika SMP 2022)
A. $\frac{1}{15}$
B. $\frac{1}{10}$
C. $\frac{1}{5}$
D. $\frac{1}{6}$

Pembahasan

Tersedia 3 pasang burung yang akan ditempatkan ke 3 kandang dengan syarat setiap burung tidak boleh dipisah dengan pasangannya.
Dengan aturan pengisian, banyak cara menempatkan burung sesuai pasangannya = $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6.$
Sedangkan untuk banyak titik sampelnya adalah banyak cara menempatkan 6 burung ke dalam 3 kandang:
$\binom{6}{2} \times \binom{4}{2} \times \binom{2}{2} = \frac{6!}{2!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = (15) \times (6) \times (1) = 90$

Dengan demikian, peluang setiap burung akan ditempatkan di kandang bersama pasangannya yang sesuai adalah:
$P = \frac{6}{90}$
$P = \frac{1}{15}$

Jawaban: A

5. Bintang menuliskan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8 di baris pertama tabel berikut:

Bintang ingin melakukan hal yang serupa pada baris kedua dengan suatu urutan tertentu. Setiap bilangan pada baris ketiga adalah jumlah dua bilangan di atasnya. Banyaknya cara Bintang mengisi baris kedua sehingga semua bilangan pada baris ketiga merupakan bilangan genap adalah ….. (OSN Matematika SMP 2021)
A. 8
B. 16
C. 48
D. 576

Pembahasan

Dari bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8 terdapat empat bilangan ganjil, yaitu: 1, 3, 5, dan 7 serta empat bilangan genap, yaitu: 2, 4, 6, dan 8.
Agar semua bilangan pada baris ketiga merupakan bilangan genap, maka dua bilangan yang dijumlah pada baris kedua harus sama-sama ganjil atau sama-sama genap.

Dengan menggunakan aturan perkalian diperoleh banyak cara mengisi :

$\begin{align*} \left (4\times 4 \right )\left ( 3\times 3\right )\left (2\times 2\right )\left (1\times 1 \right )= 576 \end{align*}$

Jawaban: D.