Soal dan Pembahasan Soal OSN Matematika SMP : Teori Bilangan

OSN, Pembahasan Soal OSN SMP, Soal OSN Matematika SMP

Kumpulan Soal OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten dan Pembahasannya

TOPIK : TEORI BILANGAN

1. Diketahui FPB dan KPK dari 72 dan x berturut-turut adalah 3 dan 1800. Pernyataan berikut yang benar adalah …. (OSN 2014)
A. x kelipatan 5
B. x kelipatan 72
C. x adalah genap
D. x adalah faktor dari 3

Pembahasan

Gunakan sifat FPB dan KPK:

    \begin{align*} \operatorname{FPB}(3,1800) \times \operatorname{KPK}(3,1800) &= 3 \times 1800 \\ 72\times x &= 5400 \\ 72x &= 5400 \\ x&= \frac{5400}{72} \\ x&= 75 \end{align*}

Jadi, x merupakan bilangan kelipatan 5.
Jawaban: A.

2. Diantara bilangan-bilangan berikut, manakah yang terletak antara \frac{11}{15} dan \frac{13}{18}. (OSN 2005)
A. \frac{11}{18}
B. \frac{13}{15}
C. \frac{15}{18}
D. \frac{11}{13}
E. \frac{24}{33}

Pembahasan
Gunakan sifat urutan pecahan berikut ini:

    \begin{align*} \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d} \\ \end{align*}

untuk setiap a, b, c, d bilangan bulat positif.
sehingga diperoleh:

    \begin{align*} \frac{11}{15} &< \frac{11+13}{15+18} < \frac{13}{18} \\ \frac{11}{15} &< \frac{24}{33} < \frac{13}{18} \end{align*}

Jadi salah satu bilangan yang terletak antara \frac{11}{15} dan \frac{13}{18} adalah \frac{24}{33}.
Jawaban: E.

3. Bilangan yang ditunjukan oleh \frac{1}{(1+\sqrt{2})(2+\sqrt{3})(1-\sqrt{2})(2-\sqrt{3})} adalah …. (OSN 2005)
A. Bilangan irrasional positif
B. Bilangan irrasional negatif
C. Bilangan rasional positif
D. Bilangan bulat positif
E. Bilangan bulat negatif

Pembahasan
Penyebut pecahan tersebut kita pasangkan berdasarkan sifat kesekawanan bentuk aljabar suku dua. Sehingga bentuk di atas dapat ditulis menjadi:

    \begin{align*} & \frac{1}{(1+\sqrt{2})(2+\sqrt{3})(1-\sqrt{2})(2-\sqrt{3})} \\ &= \frac{1}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} \\ &= \frac{1}{(1-2)(4-3)} \\ &= \frac{1}{(-1)(1)} \\ &= -1 \end{align*}

Jadi -1 merupakan bilangan bulat negatif

Jawaban: E.

4. Bilangan asli n sedemikian sehingga hasil kali oleh \left ( 1+\frac{1}{2} \right )\left ( 1+\frac{1}{3} \right )\left ( 1+\frac{1}{4} \right )…\left ( 1+\frac{1}{n} \right ) adalah …. (OSN 2006)
A. n ganjil
B. n genap
C. n kelipatan 3
D. n sembarang
E. tidak ada n yang memenuhi

Pembahasan
Bentuk dalam kurung dijumlahkan menjadi bentuk pecahan biasa:

    \begin{align*} & \left ( 1+\frac{1}{2} \right )\left ( 1+\frac{1}{3} \right )\left ( 1+\frac{1}{4} \right )…\left ( 1+\frac{1}{n} \right ) \\ &= \frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\times \frac{5}{4}\times ...\times \frac{n+1}{2} \\ &= \frac{n+1}{2} \\ \end{align*}

Perhatikan pola yang terbentuk. pembilang pecahan dan penyebut pecahan berikutnya bernilai sama sehingga bisa disederhanakan menjadi \frac{n+1}{2}
Agar nilai \frac{n+1}{2} merupakan bilangan bulat, maka (n+1) harus bisa dibagi 2 atau (n+1) merupakan bilangan genap). Sehingga n haruslah bilangan ganjil.

Jawaban: E.

5. Desi merayakan hari ulang tahun pada tanggal 27 Desember 2006. Jika pada hari tersebut usia desi sama jumlah digit dari angka tahun kelahirannya, maka Desi lahir pada tahun …. (OSN 2007)
A. 1994
B. 1992
C. 1989
D. 1984
E. 1979

Pembahasan
Misalkan Desi lahir tahun 19ab, dengan a dan b bilangan bulat, sehingga bisa ditulis:

    \begin{align*} 2006-(1000+900+10a+b) &= 1+9+a+b \\ 2006-(1000+900+10a+b) &= 1+9+a+b \\ 2006-1900-10a-b &= 10+a+b \\ 106-10 &= 10a+a+b+b \\ 96 &= 11a+2b \\ 88+8 &= 11a+2b \\ \end{align*}

Dari persamaan 88+8=11a+2b diperoleh 88=11a atau a=8 dan 8=2b atau b=4
Jadi Desi lahir pada tahun 19ab = 1984.

Jawaban: D.

13 comments

  3. Why backwoods.buzz
    GameFi Economy
    Balance trading staking and fighting inside one crypto ecosystem
    NFT Minting
    Mint weapons gear and upgrade mecha through in game achievements
    Airdrop Ready
    Complete challenges and get rewarded with crystals tokens and fees
    Community First
    Play with others and track your hero’s progress in a living Solana world
    Adventure meets crypto at https://backwoods.buzz

    Balas

Leave a Reply

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *